ESSAY MATEMATIKA SISTEM MODULO DALAM MENENTUKAN HARI PASARAN

ESSAY

HARI DAN PASARAN YANG DITENTUKAN MENGGUNAKAN SISTEM MODULO

Disusun Guna Memenuhi Tugas

Mata Kuliah : Teori Bilangan

Dosen Pengampu :

Disusun Oleh :

1.      Ulfa Azizah 

2.      Irma Siti Sefiyani

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

    UNIVERSITAS ISLAM NEGERI WALISONGO 

               SEMARANG               

 2016

BAB I

PENDAHULUAN

A.           Latar Belakang

Teori bilangan merupakan bagian matematika yang sangat penting peranannya, dimana sistem modulo bagian yang cukup penting dalam teori bilangan ini. Bahkan akhir-akhir ini teori bilangan menjadi dasar pengembangan berbagai ilmu cabang matematika seperti cryptografi dan komputer.

Salah satu penggunaan dari teori bilangan yaitu dengan adanya penggunaan sistem modulo sebagai alat untuk menentukan hari dan pasaran. Baik yang telah lampau ataupun yang akan datang. Dengan syarat tanggal, bulan dan tahun yang akan dicari hari dan pasarannya.

Sering kali kita mengalami kesulitan dalam menentukan hari dan pasaran suatu tanggal yang dianggap bersejarah. Karena sulitnya untuk mencari kalender tahun-tahun yang telah lampau. Oleh karena itu, akan disajikan beberapa cara menarik yang mudah dan sederhana untuk menyelesaikan permasalahan diatas.

B.            Rumusan Masalah

1.             Apa teori relasi kongruensi?

2.             Bagaimana sifat relasi kongruenan?

3.             Bagaimana menentukan hari dan pasaran menggunakan system modulo?

BAB II

PEMBAHASAN

A.           TEORI RELASI KONGRUENSI.

Dalam  himpunan  bilangan  bulat,  kekongruenan  merupakan suatu cara  lain Untuk menjelaskan keterbagian bilangan  bulat.  Adapun  definisi kekongruenan  adalah sebagai  berikut :

 Definisi  :

Jika m bilangan bulat positif, maka a kongruen dengan b modulo m (ditulis : a≡b  (mod  m))  jika  m  membagi  habis  (a – b),  jika  m  tidak membagi  habis  (a – b)  maka dikatakan bahwa a tidak kongruen dengan b modulo m (ditulis : a≠b (mod m)).

Dari  definisi  diatas,  muncul  theorema  sebagai  berikut  :

Theorema  1. 

 a|b (mod m) jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikian sehingga a = mk + b. 

Bukti  1. 

Dari  definisi  kekongruenan,  dapat  ditulis  kembali  bahwa  : 

m  >  0  maka  m  akan membagi  habis  (a – b)  yang  ditulis  m  |  (a – b)  jika  dan  hanya  jika a ≡ b (mod m).

Jika m | (a – b),  maka  ada  bilangan  bulat  k  sedemikian  sehingga  (a – b)  =  mk.   Sehingga  a ≡ b  (mod  m)

jika  dan  hanya  jika  a  – b  =  mk  untuk  suatu  bilangan  bulat  k.  Tetapi  karena  a – b  =  mk  sama

artinya  dengan  a = mk + b, maka  a≡b (mod  m) jika  dan  hanya  jika  a = mk + b.[1]

B.           SIFAT   RELASI  KEKONGRUENAN.

Kekongruenan  modulo  suatu  bilangan  bulat  positif  merupakan  suatu  relasi  atara  bilangan-bilangan  bulat.  Dan dapat  ditunjukkan pula bahwa  relasi  kekongruenan  merupakan  relasi  ekuivalensi. Suatu  relasi  disebut relasi ekuivalensi  jika  relasi  tersebut  memiliki  sifat refleksi,  simetris  dan transitif. Jika m, a, b dan c adalah  bilangan-bilangan  bulat  dengan  m  positif,  maka

1.      Sifat  refleksi  :

a|a (mod m)

Bukti  : 

a – a = 0.m

0        = 0,  maka  a|a (mod m). 

2.       Sifat  simetris  :

Jika a≡b (mod m), maka b|a (mod m)

Bukti  :

a≡b  (mod  m),  maka  a – b  =  km  untuk  suatu  bilanagan    bulat  k,  sehingga

b – a = - km yang  berarti  bahwa  b|a (mod m)

3.      Sifat  transitif  :

Jika a  b (mod m) dan b  c (mod m), maka a  c (mod m)

Bukti  :

Karena a  b (mod  m),  maka a – b = km untuk  suatu  bilanagan   bulat  k. 

Karena b  c (mod  m),  maka b – c = hm  untuk  suatu  bilanagan   bulat  h.

Jika  kedua  ruas  dijumlahkan,  maka  akan  diperoleh  :  a – c  =  (k – h)  m  yang  berarti bahwa  : a  c (mod  m).[2]

C.           MENENTUKAN HARI DAN PASARAN MENGGUNAKAN SISTEM MODULO.

sistem  modulo  7  yang  mempunyai peranan  penting  dalam Menentuan  hari. Sistem  ini  hanya  menggunakan  tujuh  lambang  bilangan,  yaitu:  0,  1,  2,  3,  4,  5 dan  6.  Jumlahan  di  dalam  sistem modulo  7  adalah  sama  seperti  jumlah  biasa,  kecuali  jika jumlah  itu  lebih  besar  

dari  6,  kita  bagi  jumlah  itu  dengan  7  dan  gunakan sisa  itu  di  tempat jumlah  biasa. Oleh  karena  itu  : 1 + 3 = 4, tetapi 5 + 4 = 2 karena  jika  9 dibagi  7 sisanya  2.

1.      Menentukan Hari.

Himpunan H  =  {Minggu,  Senin,  Selasa,  Rabu,  Kamis,  Jum’at,  Sabtu}. Dengan menggunakan  tiga  pengertian, yaitu:

1.  Sistem  modulo  7.

2.  Tahun  biasa = 365 hari.

3.  Tahun  kabisat = 366 hari  (tahun  yang  bilangannya  habis  dibagi  empat).

Pada  prinsipnya  jumlah  semua  hari  dari  Kalendar  Masehi  dimulai dari tanggal  1 bulan Januari  tahun  1  sampai  dengan  tanggal x  bulan y  tahun  z  yang  akan dicari  harinya,  dihitung  kemudian hasilnya  dibagi  dengan 7. Dengan  percobaan  yang  akan  diuraikan,  apabila  sisanya bernilai  nol ni berarti jatuh  pada  hari  sabtu,  bila  sisanya  1  jatuh  pada  hari  Minggu  dan  seterusnya  akhirnya  bila sisanya  6 jatuh pada hari Jum’at, seperti  pada tabel  berikut  ini.

Table 2. Sisa Hari.

Sisa  Hari

0  Sabtu

1  Minggu

2  Senin

3  Selasa

4  Rabu

5  Kamis

6  Jum’at

 

Ada beberapa cara yang dapat dilakukan untuk mencari hari dengan menggunakan sistem modulo 7 yaitu:

Cara I :

U + V – W = S  (modulus  7)

Diketahui:

U : jumlah  tahun

V : bilangan bulat  terbesar  dari  (U/4)

W : ( seluruh jumlah  hari dari  tanggal yang diketahui – jumlah hari dari tanggal yang diketahui) sampai  dengan  31 Desember  (lihat  tabel  3).

S : sisa  pembagian  modulo  7 (lihat  tabel  2).

Tabel 3. Jumlah  hari  tiap-tiap  bulan.

Bulan  Tahun  biasa / kabisat
Januari  31	Juli  31
Februari  28 / 29	Agustus  31
Maret  31	September  30
April  30	Oktober  31
Mei  31	November  30
Juni  30	Desember  31

Contoh:

Tentukan  hari  lahir Ibu RA. Kartini, tanggal 21 April 1879!

Diketahui:

  U = 1879

  V = (U/4) = (1879/4) = 469.75 = 469

  W = jumlah  hari  dari 21 april (30-21)  sampai 31 Desember

= 9 april+ 31 mei + 30 juni + 31 juli + 31 agustus + 30 september + 31 oktober + 30 november + 31 desember

       = 9 + 31 +30+ 31+ 31+ 30 + 31 + 30 + 31 =254

Jawab:

U + V – W = 1879 + 469 – 254 = 2094 = 1 (modulo  7)

karena  S  =  1,  maka  menurut  Tabel  2 : 21 April 1879 jatuh pada hari Minggu.

Cara II :

X + Y + Z  = S (modulus  7)

Diketahui:

X : U – 1 (U adalah  jumlah  tahun)

Y : bilangan  bulat  terbesar  dari  (X/4)

Z : jumlah  hari dari tanggal  l Januari sampai tanggal  yang  dicari  (lihat  tabel  3).

S : sisa  pembagian modulo7 (lihat  tabel  2). 

Contoh:

Tentukan  hari  lahir Ibu RA. Kartini, tanggal 21 April 1879!

Dengan  menggunakan  rumus  (2) :

 X + Y + Z = S  (modulus  7)

Diketahui:

 X = U -1 = 1879-1 = 1878

 Y = (X/4) = (1879/4) = 469

 Z = jumlah  hari  dari  1 Januari – 21 April. 

    = 31 + 28 + 31 + 21 = 111

Jawab:

X + Y + Z = 1878 + 469 + 111 = 2458 = 1 (modulo  7)

karena  S  =  1,  maka  menurut  Tabel  2 : 21 April 1879 jatuh pada hari Minggu.

Cara III : 

Untuk  abad ke 20, menggunakana  rumus  : 

K + L + M – N = S (modulus  7 )

Untuk  abad ke n menggunakan  rumus  :

 K + L + M – N + (20 – n) = S (modulus  7) 

dengan:

K : jumlah  tahun  dalam  satu  abad yang  bersangkutan,  untuk  tahun  1879 maka K = 79.

L : jumlah  tahun  kabisat  dalam  satu  abad yang  bersangkutan,  untuk tahunn  1879 maka 

      (79/4) = 19.75 = 19

M : tanggal  yang  akan dicari  harinya.

N : harga  bulan  (angka-angka)  dicari  dari  table  dibawah  ini.

 S : sisa  pembagian  (lihat  tabel  2). 

 Tabel 4. Harga Bulan (N)

Bulan  Tahun  biasa / kabisat
Januari  6 / 0	Juli  0
Februari  3 / 4	Agustus  4
Maret  3	September  1
April  0	Oktober  6
Mei  5	November  3
Juni  2	Desember  1

Harga  bulan  N  untuk  bulan  Januari  dan  Februari  masing-masing  ada  dua  macam tergantung  pada tahun  biasa  atau tahun  kabisat.

Contoh :

Tentukan  hari  lahir Ibu RA. Kartini, tanggal 21 April 1879!

Dengan  menggunakan  rumus  (3) : 

K + L + M – N = S  (modulus  7), maka  berarti  :

  K = 1879= 79

  L = (K/4) = (79/4) = 19.75 = 19

  M = tanggal  21 = 21

  N = harga  bulan  April  = 0

sehingga,  K + L + M – N = 79 + 19 + 21 – 0 = 120 = 1 (modulo  7)

karena  S  =  1,  maka  menurut  Tabel  2 : 21 April 1879 jatuh pada hari Minggu.

1.      Menentukan Pasaran.

dalam  menentukan pasaran  menggunakan    modulo  5.  Telah  diketahui  bahwa  nama  pasaran  adalah  Wage, Kliwon,  Legi,  Pahing, dan Pon.  Dalam  menentukan  pasaran  juga  masih tergantung  pada jumlah  hari  tahun  biasa  dan    kabisat,  yaitu  365  hari  dan 366  hari, sehingga dalam  menentukan pasaran  diperlukan  nilai/harga  bulan  seperti  pada tabel  5.

Tabel 5. Harga Bulan (B)

Bulan  Tahun  biasa / kabisat
Januari  0 / 1	Juli  4
Februari  4 / 0	Agustus  3
Maret  1	September  2
April  0	Oktober  2
Mei  0	November  1
Juni  4	Desember  1

 

Dari  hasil  percobaan diperoleh  tabel sisa  pasaran  untuk   harga  S sebagai berikut:

Tabel 6. Sisa Pasaran.

0  Legi

1  Pahing

2  Pon

3  Wage

4  Kliwon

Dengan  sedikit  gambaran  di  atas  maka untuk  menentukan  pasaran  tertentu  dapat

dipergunakan  rumus  yang berlaku  untuk  sembarang  abad sebagai  berikut.

L + M – B = S (modulus  5)

Diketahui :

L : jumlah  tahun  kabisat  dalam  satu  abad yang  bersangkutan  

M : tanggal  yang  akan dicari  pasarannya 

B : harga  bulan  untuk menentukan  pasaran (lihat  tabel 5).

S : sisa  pembagian  modulo  5 (lihat  tabel 6).

Tentukan  pasaran dari tanggal  lahir Ibu RA. Kartini, tanggal 21 April 1879!  

Dengan  menggunakan  rumus (5) : 

L + M – B = S  (modulus 5).

Diketahui :

  L = (79/4) = 19.75 = 19

  M = tanggal  21 =21

  B = harga  bulan  pada tabel 5 = 

sehingga,  L + M – B = 19 + 31 - 0 =  50 = 0 (modulo 5)

karena  S  = 0,  maka  menurut  Tabel  6  :  21 April 1879 jatuh  pada pasaran  LEGI.[3]

PENUTUP

A.          Kesimpulan

Dalam  himpunan  bilangan  bulat,  kekongruenan  merupakan suatu cara  lain Untuk menjelaskan keterbagian bilangan  bulat.  Adapun  definisi kekongruenan  adalah sebagai  berikut :

 Definisi  :

Jika m bilangan bulat positif, maka a kongruen dengan b modulo m (ditulis : a≡b  (mod  m))  jika  m  membagi  habis  (a – b),  jika  m  tidak membagi  habis  (a – b)  maka dikatakan bahwa a tidak kongruen dengan b modulo m (ditulis : a≠b (mod m)).

Kekongruenan  modulo  suatu  bilangan  bulat  positif  merupakan  suatu  relasi  atara  bilangan-bilangan  bulat.  Dan dapat  ditunjukkan pula bahwa  relasi  kekongruenan  merupakan  relasi  ekuivalensi. Suatu  relasi  disebut relasi ekuivalensi  jika  relasi  tersebut  memiliki  sifat refleksi,  simetris  dan transitif. Jika m, a, b dan c adalah  bilangan-bilangan  bulat  dengan  m  positif.

sistem  modulo  7  yang  mempunyai peranan  penting  dalam Menentuan  hari. Sistem  ini  hanya  menggunakan  tujuh  lambang  bilangan,  yaitu:  0,  1,  2,  3,  4,  5 dan  6.  Jumlahan  di  dalam  sistem modulo  7  adalah  sama  seperti  jumlah  biasa,  kecuali  jika jumlah  itu  lebih  besar  dari  6,  kita  bagi  jumlah  itu  dengan  7  dan  gunakan sisa  itu  di  tempat jumlah  biasa. Oleh  karena  itu  : 1 + 3 = 4, tetapi 5 + 4 = 2 karena  jika  9 dibagi  7 sisanya  2.

---

[1] https://julanhernadi.files.wordpress.com/2011/05/teori_bilangan_bab3_1.pdf

[2] [2] Agung Handayanto, peranan system modulo dalam penentuan hari dan pasaran.

[3] Agung Handayanto, peranan system modulo dalam penentuan hari dan pasaran.